Unter der Leitidee "Funktionaler Zusammenhang" versteht man bei den Mathematik-Standards die Fähigkeit, aus dem Wert von einer (oder mehrerer) Größe(n) auf den Wert einer anderen (davon abhängigen) Größe zu schließen. Hierbei spielt der Funktionsbegriff eine zentrale Rolle. Durch das Aufstellen von Termen und Funktionsgleichungen wird solch ein mathematischer Zusammenhang erkennbar.
Funktionale Zusammenhänge an Stationen erforschen
Es bietet sich an Schülern zu Beginn der Thematik funktionale Zusammenhänge selber erforschen zu lassen. Die folgende Stationsarbeit entspricht einem lernspsychologisch, konstruktivistischem Verständnis. Die Schüler sollten zunächst enaktiv unterschiedliche Zusammenhänge erforschen und dadurch alle prozessorientierten Kompetenzen des BP2016 einsetzen. Die Kompetenzorientierung fördert zudem ein tieferes Verständnis von der Thematik.
In der Stationsarbeit werden Zusammenhänge aus der Umwelt der Schüler untersucht. Dazu gehören eine abbrennende Kerze, Füllkurven von Gefäßen, die Hungerkurve des gestrigen Tages, Supermarktpreise, das Spitzen von Stiften und der Bau eines Münzturmes.
Die drei didaktischen Aspekte von Funktionen (Kovarianz als Änderungsverhalten von Funktionen, Funktion als Ganzes, Zusammenhang zweier Variablen) liegen den Stationen zu Grunde.
Bereits in der der Grundschule lernen Schülerinnen und Schülern funktionale Zusammenhänge in Form von Dreisatzaufgaben kennen. In der Sekundarstufe wird das funktionale Denken weiterentwickelt. Die folgenden Seiten enthalten Informationen, Materialien, Übungen und Links, die dazu beitragen das funktionale Denken zu entwickeln.
Vier Darstellungsformen bei Zuordnungen (Funktionen)
Funktionale Zusammenhänge lassen sich auf vier verschiedene Arten darstellen: verbal in Textform, tabellarisch bzw. durch Angabe verschiedener Punkte, grafisch als Schaubild oder in Form einer Zuordnungs- oder Funktionsgleichung. Die Transformation dieser Darstellungsarten fällt Schülerinnen und Schülern nicht leicht. Sie lässt sich sehr schön mit Dominostein-Aufgaben üben.
Proportionale Zusammenhänge (als Spezialfall der linearen Abhängigkeiten) spielen vor allem in der Physik eine sehr große Rolle. In der Mathematik beginnt mit Proportionalitäten der Einstieg in grafische Veranschauung von funktionalen Zusammenhängen. Ein schön gemachtes und leicht verständliches Lernvideo auf YouTube beschreibt die Bedeutung von x- und y-Wert und leitet anschaulich den Steigungsbegriff her. Dieser ist für das nachfolgende Thema ungeheuer wichtig. Leider taucht in dem Video der Proportionalitätsbegriff nicht auf.
Unter den nachfolgenden Link finden Sie eine Lernumgebung zu linearen Funktionen und deren Schaubildern (Geraden). Verschiedene Animationen und Lernvideos sowie interaktive Aufgaben eignen sich auch zum selbstständigen Lernen und Wiederholen.
Quadratische Funktionen werden durch Parabeln im Achsenkreuz veranschaulicht. Unter dem folgenden Link finden Sie eine Vielzahl von Materialien von den Eigenschaften des Schaubildes, der Scheitelbestimmung bis hin zu geometrischen und physikalischen Anwendungen.
Bei den Potenzfunktionen unterscheidet man Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten und Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten. Die erste Gruppe besitzt als Schaubilder Hyperbeln (bei negativen Hochzahlen) und Parabeln (bei positiven Hochzahlen größer als 1).
Die hier vorgestellte Animation ermöglicht mit Hilfe von dynamischen Wertetabellen einen schnellen Überblick über die verschiedenen Schaubilder mit den zugehörigen Eigenschaften bei ganzzahligen Hochzahlen.
Die Trigonometrischen Funktionen entstehen als Verallgemeinerung der trigonometrischen Winkelbeziehungen am rechtwinkligen Dreieck. In der hier verlinkten Lernumgebung finden Sie umfangreiche Materialien und Animationen zur gesamten Trigonometrie - vom rechtwinkligen Dreieck bis hin zum Bogenmaß, der Veranschaulichung der trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis und der Streckung und Verschiebung von trigonometrischen Funktionen in x- und y-Richtung.
Aus dem Schaubild einer Funktion lässt sich ein funktionaler Zusammenhang direkt ablesen. Aus diesem Grund ist die Kenntnis des Verlaufs der Schaubilder verschiedener Grundfunktionen außerordentlich wichtig.
Für Schülerinnen und Schüler ist es nicht immer einfach die Funktion und ihr Schaubild auseinanderzuhalten. Das hier vorgestellte Arbeitsblatt verdeutlicht die Unterschiede, insbesondere bei der Formulierung von Symmetrie oder Veränderungen des Schaubildes durch Streckung oder Spiegelung an den Achsen.
Viele kompliziertere Funktionen entstehen durch Verkettung zweier einfacher Grundfunktionen. Im Schaubild entstehen auf diese Weise völlig neue Kurven. Die hier vorgestellten Arbeitsblätter reflektieren die Entstehung der Schaubilder. Darüber hinaus bieten sie die Möglichkeit, Streckung und Verschiebungen in x-Richtung und die entsprechenden Funktionsanpassungen zu verstehen.
Schaubilder lassen sich sowohl in x-Richtung, als auch in y-Richtung verschieben und strecken. Hierbei ändert sich die entsprechende Zuordnungsvorschrift (Funktion).
Funktionsanpassung der Quadratfunktion bei Verschiebung und Streckung der Normalparabel
In Animationen wird die Normalparabel mit Schiebereglern zunächst in y-Richtung und x-Richtung verschoben. Anschließend kann man die Normalparabel in y-Richtung und x-Richtung strecken. In einem Eingabefeld lassen sich die angepassten Funktionen eintippen und augenblicklich am Bildschirm im Schaubild kontrollieren.
Verschiebung und Streckung von Schaubildern spielt nicht nur bei Parabeln eine wichtige Rolle. Die dort gelernten Zusammenhänge lassen sich mühelos auf beliebige Funktionstypen übertragen.
Beim Verständnis leistet die unter folgendem Link vorgestellte Animation gute Dienste.
Lernvideo zur Verschiebung von Schaubildern in x-Richtung
In einem Lernvideo wird die Funktionsanpassung bei Verschiebungen in x-Richtung beschrieben. Im Lernvideo wird darüber hinaus begründet, warum die Veränderungen im Funktionsterm die beschriebene Form haben müssen.
Grafisches Lösen von Gleichungen mit Hilfe von Schaubildern
Mit Funktionen lassen sich auch Gleichungen lösen. In Zeiten von grafikfähigen Taschenrechnern und Computer-Algebra-Systemen ist dies inzwischen ein wichtiger Lerninhalt an unseren Schulen. Die Vorgehensweise ist stets gleich und bietet für viele Gleichungen (nummerische) Lösungen, die "von Hand" nicht bestimmt werden können.
Modellieren mit Funktionen am Beispiel einer Wettbewerbsaufgabe
Am Beispiel einer Aufgabe des Landeswettbewerbes Mathematik aus dem Jahr 2008 wird anhand einer konkreten Problemstellung die Vorgehensweise von der Termerstellung bis zur grafischen Lösung beschrieben. Die Aufgabenstellung wird durch Fotos und Skizzen anschaulich dargestellt. Darüber hinaus werden sie durch Tipps schrittweise zur Lösung geführt. Bei der hier vorgestellten Lösung wird der grafikfähige Taschenrechner oder ein grafisches Mathematik-Programm (z. B. GeoGebra) sinnvoll eingesetzt.
Bei den Potenzfunktionen unterscheidet man Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten und Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten.
In Animationen wird die Normalparabel mit Schiebereglern zunächst in y-Richtung und x-Richtung verschoben. Anschließend kann man die Normalparabel in y-Richtung und x-Richtung strecken. 
Lernvideo zur Verschiebung von Schaubildern in x-Richtung
Am Beispiel einer Aufgabe des Landeswettbewerbes Mathematik aus dem Jahr 2008 wird anhand einer konkreten Problemstellung die Vorgehensweise von der Termerstellung bis zur grafischen Lösung beschrieben.