Verkettung von Funktionen mit GeoGebra darstellen

Mit der nachfolgenden GeoGebra-Animation lassen sich Verkettungen von Funktionen mit Hilfe der Graphen darstellen und verstehen.

Die Inhalte eignen sich als Referatsthema für die gymnasiale Mittelstufe, u. U. auch zur Vertiefung zum Thema "Streckung und Verschiebung von Graphen".

Übungsblätter und weitere Hinweise findest du auf der Seite Weitere Übungsaufgaben zur Verkettung von inneren und äußerern Funktionen.

In der gymnasialen Oberstufe wird die Kettenregel eingeführt und bewiesen (siehe: Animation zum Beweis der Kettenregel). Im Vorfeld leistet die Animation gute Dienste beim Verständnis der Funktionsverkettung.

Hinweise zur Animation:

• Der erste Aufruf der Animation erfordert etwas Geduld.
• Mit der Schaltfläche "Animation an" wird schrittweise beschrieben, wie punktweise durch Hintereinanderausführung der beiden Funktionen u und v den Graph der verketteten Funktionen f und g entstehen.
• Die verketteten Funktionen können über die zweite Schaltfläche verändert werden. Hierbei stehen für die Eingabe drei Parameter (a, b und c) zur Verfügung.
• Die Animation lässt sich nur starten, wenn die Funktionseingabe für u und v ausgeblendet ist (Schaltfläche oben rechts).
• Mit dem Pfeilsymbol (oben rechts) kannst du die Animation wieder in den Anfangszustand zurück setzten.
• Bei Problemen informiere bitte die Redaktion Mathematik.

Mögliche Arbeitsaufträge zur Animation:

Die Begründungen für die Ergebnisse der folgenden Aufgaben sind nicht einfach, sollten aber interessierte Schülerinnen und Schüler herausfordern.

1. Klicke auf die Schaltfläche "Animation starten" und beobachte die Veränderungen im Achsenkreuz. Unterbreche die Animation mit der Schaltfläche "Pause" und verändere anschließend mit dem Schieberegler (links) den Wert von x.
   Beschreibe die Veränderungen und begründe, wie schrittweise aus dem Wert von x der y-Wert von f (bzw. von g) entsteht.
2. Klicke auf die Schaltfläche "Funktionen ändern". Es erscheinen Eingabefelder für u(x) und v(x). Du kannst für die Eingabe der Funktionen drei Parameter (a, b und c) werdenden. Experimentiere mit den dir bekannten Funktionstypen. Versuche, die Graphen der verketteten Funktionen (f und g) zu erklären.
3. Stelle die Animation mit dem Pfeilsymbol (oben rechts) auf die Starteinstellung zurück. Setze den Haken bei g(x) und entferne ihn bei f(x).
   Beschreibe die Lage, die Amplitude und die Perodenlänge des (gelben) Graphen von g(x) und unterscheide sie im Vergleich zum (blauen) Graphen von u(x).
4. Wie oben betrachten wir wieder nur den (gelben) Graphen der Funktion g(x). Belasse die Funktion v(x) in der Starteinstellung und variiere (mit Hilfe der Parameter a und b) den Graphen der Sinusfunktion (blau). Beschreibe die Veränderungen.
5. Die Sinusfunktion ist eine ungerade Funktion, d. h. ihr Graph ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Eine Quadratfunktion ist eine gerade Funktion, d. h. ihr Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Multipliziert man eine ungerade Funktion mit einer ungeraden Funktion, so erhält man eine gerade Funktion. Das Produkt aus einer ungeraden und einer geraden Funktion ist eine ungerade Funktion.
   Achtung: Bei der Verkettung von Funktionen gelten diese Regeln nicht! Experimentiere mit verschiedenen Funktionstypen und finde eine entsprechende Regel für die Verkettung.
6. Klicke auf die Schaltfläche "Funktionen ändern" und gib für u(x)=a*x+b ein (lineare Funktion). Belasse v(x) mit der Funktion v(x)=c*x^2. Stelle den Parameter a auf den Wert 1 und b=0. Was stellst du fest? Begründe dieses Ergebnis.
7. Verwende die gleichen Funktionen wie oben, aber ändere nacheinander die Parametereinstellungen für a und b. Was fällt dir bei den verketteten Funktionen f und g auf? Findest du eine Begründung für diese Ergebnisse?

Klicken Sie auf die Schaltfläche "Funktionen ausblenden" und starten Sie die Animation. Eventuell hilft diese bei den Erklärungen."

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