Nachweis eines Geradenschnittpunkts (Nagelpunkt)
Verlaufen drei Geraden durch die drei Ecken eines Dreiecks und liegt
zudem keine der Dreiecksseiten auf einer dieser Geraden spricht man von
Ecktransversalen. Die Ecktransversalen schneiden jeweils die
gegenüberliegende Seite (bzw. deren Verlängerung). Die Schnittpunkte bilden
mit den anderen beiden Ecken (gerichtete) Streckenverhältnisse.
Nach dem Satz von Ceva ist das Produkt dieser Streckenverhältnisse genau dann gleich 1, wenn die Ecktransversalen sich in einem gemeinsamen Punkt schneiden. Siehe Animation (bei geöffneten Schaltern) unter Besondere Punkte beim Dreieck.
Der Nagelpunkt
Nach dem deutschen Mathematiker Christian Heinrich von Nagel (1803-1882) benannt, handelt es sich hierbei um den Schnittpunkt der Verbindungsstrecken von den Ecken des Dreiecks zu den Ankreisberührpunkte auf den gegenüber liegenden Dreieecksseiten.
Die nachfolgende Animation beschreibt einen Beweis für die Existenz dieses Schnittpunktes.
Hinweise:
- In der Konstruktion lassen sich die Dreiecksecken verschieben.
- Mit dem hellblauen Pfeilsymbol oben rechts auf dem Zeichenblatt kannst du die Konstruktion zurück setzten.
- Für das Verständnis des Beweises ist es von Vorteil, wenn die unteren Auswahlhäkchen nicht gesetzt sind. Die notwendigen Beweiselemente erscheinen durch Öffnen der Schiebeschalter bzw. Anklicken der Felder "Auflösung".
