Der Feuerbachsche Kreis (auch 9-Punkte-Kreis)

Neben den drei Seitenmitten und den drei Höhenfußpunkten liegen bei jedem Dreieck auch die Mittelpunkte zwischen den Ecken und dem Höhenschnittpunkt (die so genannten Euler-Punkte) auf einem Kreis - dem Feuerbachschen Kreis (oder 9-Punkte-Kreis).

Mit recht einfachen Mitteln (Nachweis von Sehnenvierecken) lassen sich die Kreiseigenschaften nachweisen (siehe unten Beweis 1). Hierbei wird die besondere Rolle des Höhenschnittpunkts verdeutlicht und gleichzeitig seine Bezeichnung als "vierte Ecke im Dreieck" begründet.

Anhand weiterer Überlegungen lässt sich der Beweis auch auf eine andere Art durchführen (siehe unten Beweis 2). Bei diesem Beweis werden Rechtecke eingesetzt. Hierdurch benötigt man nicht unbedingt den Begriff von Sehnenvierecken und kann sich notfalls auch mit dem Thalessatz "retten", indem man die Rechtecke in zwei rechtwinklige Dreiecke teilt. Bei diesem Beweis treten neue, bemerkenswerte Eigenschaften des Feuerbachschen Kreises zu Tage - insbesondere ein Zusammenhang zwischen dem Feuerbachkreis und dem Umkreis eines Dreiecks.

Spielerisch werden hierbei die Zusammenhänge der Mittelstufen-Geometrie verbunden. Darüber hinaus wiederholen sich die vorgestellten Beweisschritte gelegentlich bei mathematischen Wettbewerben, z. B. wenn gezeigt werden muss, dass vier oder mehr Punkte auf einem Kreis liegen.

Beweis 1 zum Feuerbachschen Kreis

Beweis 2 zum Feuerbachschen Kreis

Eine Zusammenfassung der Inhalte beider Konstruktionen und weitere Informationen zum Feuerbachkreis finden sie am Seitenende zum Download im OpenOffice- und im PDF-Format.

Der Feuerbachsche Kreis (auch 9-Punkte-Kreis)

Vorschau der Zusammenfassung:

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