Alternativbeweis "alle 9 Punkte liegen auf dem Kreis"

Wieder gilt es zu zeigen, dass die Seitenmitten, die Höhenfußpunkte und Euler-Punkte bei jedem Dreieck auf einem Kreis liegen.

Anstatt gleichschenkliger Trapeze verwenden wir nun Rechtecke zum Nachweis des gemeinsamen Kreises, (denn auch Rechtecke besitzen einen Umkreis). Allerdings muss für die Höhenschnittpunkte mit einer zentrischen Streckung ein weiteres "Geschütz" aufgefahren werden. Mit dieser Vorgehensweise stoßen wir beim Verständnis des Beweises auf weitere Besonderheiten des Feuerbachschen Kreises.

Hinweise:

• Ziehe die Schalter nacheinander langsam ganz nach rechts. Beachte bei Schritt 2 und 4 die Reihenfolge der erscheinenden Objekte.
• Mit dem Pfeilsymbol (in der rechten, oberen Ecke) lässt sich die Konstruktion in den Anfangszustand zurück setzen.

Aufgaben:

Bereite wieder eine Präsentation für deine Klassenkameraden vor. Beschreibe die Beweisführung in eigenen Worten. Erkläre hierbei

• Warum haben Rechtecke einen Umkreis?
• Warum sind die Innenwinkel der bunten Vierecke rechte Winkel?
• Warum haben die drei Rechtecke einen gemeinsamen (!) Umkreis?
• Gilt die Beweisführung auch für stumpfwinklige Dreiecke? Verändere hierfür an den blauen Schiebereglern die Seitenlängen.
• Wie geht das Eulerpunkt-Dreieck aus dem Dreieck ABC hervor (vgl. Tipp 6 mit Tipp 2). Welche Symmetrie-Beziehung besteht zum Seitenmittenmittendreieck. Begründe!