LWM 2007: Nachweis gleicher Längen (mit Streifenschar)

Aufgabe 6 Landeswettbewerb-Mathematik aus dem Jahr 2007

Gegeben sind zwei Kreise k₁ und k₂, die sich von außen berühren. Ihre Mittelpunkte sind M₁ und M₂. Ein Halbkreis über der Strecke schneidet k₁ in P₁ und k₂ in P₂.
Zeige: Die Kreise k₁ und k₂ schneiden aus der Geraden P₁P₂ gleich lange Sehnen aus.

Tipps zur Beweisführung:

• Erstelle zur Aufgabenstellung zunächst eine Skizze. Beachte dabei, dass über die Radien der beiden Kreise k₁ und k₂ keine Informationen vorliegen. Sie sollten daher in der Skizze unterschiedlich sein.
  Skizze anzeigen.
• Neben dem hier vorgestellten Lösungsweg gibt es noch weitere. Der Vorteil dieser Lösung ist, dass zum Verständnis außer den Eigenschaften eines gleichschenkligen Dreiecks und der Eigenschaft der Mittelparallelen beim Dreieck kein weiteres Vorwissen benötigt wird.
• Mit den nachfolgenden Links kannst du die Inhalte zu diesem Beweis aufrufen.
• Versuche zunächst selbst eine eigene Lösung. Wenn du der Beweisführung folgst, fasse am Ende in einem Heftaufschrieb die wesentlichen Schritte in eigenen Worten zusammen. Erkläre den Beweis einem Freund / einer Freundin.

Animierte Skizze zur Aufgabenstellung mit weiteren Tipps
Nachweis der gleichen Streifenbreite - mit Animation 
Vollständige Formulierung des Beweises - ebenfalls mit Animation

Beachte:

Bei einer sauberen Beweisführung müssen alle wesentlichen Zwischenschritte aufgeführt werden. Insbesondere müssen alle verwendeten mathematischen Sätze, die aus dem Unterricht (oder dem Schulbuch) nicht bekannt sind, präzise formuliert und mit einem Quellennachweis (z. B. Formelsammlung oder Internetseite) belegt werden.

Die Eigenschaften einer Steifenschar sind kein Gegenstand des aktuellen Lehrplans in Baden-Württemberg. Bei dieser Beweisführung verwenden wir einen Satz, den man z. B. in "Elemente der Mathematik, Baden-Württemberg, Klasse 7, Schroedel-Verlag 2002" auf der Seite 139 findet:
"Eine Schar von n gleich breiten Parallelstreifen zerlegt jede Querstrecke, deren Endpunkte auf den Randparallelen liegen, in n gleich lange Teilstrecken."