Beweis Satz des Ptolemäus
Dieser Beweis verwendet die Aussagen des Umfangswinkelsatzes sowie die Streckenverhältnistreue bei ähnlichen Figuren.
Unter der Voraussetzung, dass das Viereck ABCD einen Umkreis besitzt, wird auf die Gültigkeit der Gleichung geschlossen.
Im Gegensatz zur Gleichung des Satzes von Pythagoras existiert keine Veranschaulichung zur Gleichung ac+bd=ef. Teilt man allerdings durch eine Diagonalenlänge, ergibt sich ein Ausdruck für die andere Diagonale:
f=ac/e + bd/e
Diese Gleichung lässt sich nun geometrisch interpretieren. Um dies am Sehnenviereck umzusetzten, ist allerdings noch etwas Vorarbeit notwendig:
- Suche gleiche Umfangswinkel.
- Drehe den Kreisbogen um den Mittelpunkt, so dass das Bild von C auf den Punkt D fällt.
- Suche geschickt ähnliche Dreiecke. Nutze die obige Gleichung für deine Überlegungen.
Insbesondere die Drehung des Kreisbogens (lila) scheint zunächst vom Himmel zu fallen. Wenn man sich die geometrische Bedeutung der obigen Gleichung jedoch vor Augen führt, ist die Vorgehensweise nachvollziehbar.
Aufgabe:
Formuliere die wesentlichen Schritte des Beweises in eigenen Worten. Achte darauf, welches Wissen aus der Voraussetzung des Satztes gegeben ist und was daraus gefolgert werden darf. Wie begründet man z. B. die Ähnlichkeit der Dreiecke? Wie gelingt der Nachweis der Gleichheit der Kreisbögen?