Der Satz des Ptolemäus und seine Umkehrung
Nach dem griechischen Mathematiker und Astronom Claudius Ptolemäus (ca. 150 n. Chr.) wurde das geozentrische Weltbild benannt, bei dem die Erde im Mittelpunkt des Weltalls verankert ist, während alle anderen Planeten und Sterne um sie kreisen. Die damaligen Berechnungen von Ptolemäus waren äußerst präzise und ermöglichten lange Zeit verhältnismäßig exakte Vorhersagen über die Planetenbahnen.
Im Gegensatz zum ptolemäischen Weltbild war die Gültigkeit des folgenden Satzes von Ptolemäus jederzeit unbestritten.
"Genau bei einem Sehnenviereck entspricht die Summe der Produkte aus gegenüberliegenden Seiten dem Produkt der beiden Diagonalen."
Dieser Satz beinhaltet zwei Richtungen:
- In einem Sehnenviereck mit den Seiten a, b, c, d und den Diagonalen e und f gilt stets die Beziehung ac+bd=ef (=Satz des Ptolemäus).
In der Animation unten kannst du diese Aussage untermauern, indem du die Eckpunkte des Vierecks auf den Kreis setzt und anschließend mit den beiden Schiebereglern überprüfst, ob die Gleichung des Ptolemäus erfüllt ist. Dies ist allerdings kein Beweis für die Aussage! Zum Beweis - Gilt umgekehrt bei einem Viereck mit den Seiten a, b, c, d und den Diagonalen e und f die Beziehung ac+bd=ef, dann besitzt dieses einen Umkreis (=Umkehrung des Satzes von Ptolemäus).
Diese Richtung der Beweisaussage veranschaulichst du, indem du beide Regler in den grünen Bereich schiebst und anschließend die Eckpunkte so legst, dass beide Zahlenwerte gleich groß sind. Nun sollte es einen Kreis geben, der alle Ecken des Vierecks trifft. Zum Beweis
Einfache Folgerungen:
- Bekanntermaßen beträgt die Summe der gegenüberliegenden Winkel bei einem Rechteck 180°. Rechtecke habe somit einen Umkreis. Da hier gegenüberliegenden Seiten und die Diagonalen gleich groß sind, wird aus dem Satz des Ptolemäus die Aussage des Satz des Pythagoras. Zum Beweis
- Wendet man den Satz des Ptolemäus auf regelmäßige Fünfecke an, führt dies zu einer Verhältnisgleichung, die die Teilung nach dem goldenen Schnitt beschreibt. Zum Beweis
- Auch der Kosinussatz lässt sich mit dem Satz des Ptolemäus beweisen. Allerdings ist hier die Kenntnis der erweiterten Definition des Kosinus für Winkel über 90° notwendig. Zum Beweis
Definitionserweiterung der trigonometrischen Funktionen auf beliebige Winkel