Übung zum Umfangswinkelsatz mit Sehnenvierecken

Nach Einführung des Umfangswinkelsatzes und der Kenntnis der Winkeleigenschaft von Sehnenvierecken ist diese Beweisaufgabe eine mittelschwere Übung. Sie eignet sich in besonderer Weise zur Motivation und Vorbereitung auf Wettbewerbsaufgaben. Die Aufgabenstellung stammt von Winfried Haag und wurde sinngemäß der Mathematik-Zeitung "Die WURZEL" (Ausgabe 5/2008, Aufgabe 52) entnommen.

Die Aufgabenstellung ist beim ersten Durchlesen etwas kompliziert. Sie kann durch Öffnen der drei ersten Schieberegler in der nachfolgenden Animation nachvollzogen werden.

Beweise die Gültigkeit der folgenden Orthogonalenkonstruktion:

Bei einem Dreieck ABC schneidet ein Kreis durch die Ecken A und B die Seite b im Punkt D und die Seite a im Punkt E. Die Lotgerade zur Seite b durch D treffe die Lotgerade zur Seite a durch E im Punkt F. Dann schneidet die Gerade CF die Seite c in einem rechten Winkel.

Hinweise:

• in der Konstruktion lässt sich die Lage der Dreiecksecken sowie der Radius des Kreises verändern.
• Mit dem hellblauen Pfeilsymbol oben rechts auf dem Zeichenblatt kannst du die Konstruktion zurück setzten.
• Neben dem Satz über die Winkelsumme der Innenwinkel beim Viereck sollten auch der Thaleskreis, sowie die Aussage des Umfangswinkelsatzes und die Winkeleigenschaft von Sehnenvierecken bekannt sein.

(Alternativ-Beweise werden von der Mathematik-Redaktion gerne angenommen und veröffentlicht.)