(Winkel-) Eigenschaft von Sehnenvierecken
Vielleicht ist Dir bekannt, dass Vierecke in der Regel keinen Umkreis besitzen. (Das ist ein Kreis, der durch alle Ecken geht.) Vierecke mit Umkreis sind daher besondere Vierecke. Da ihre Seiten aus lauter Kreissehnen bestehen, nennen wir sie Sehnenvierecke.
Beim Schritt 2 vom Beweises des Umfangswinkelsatzes haben wir unsere Kreislinie in zwei Bogenpaare zerlegt. Durch Parallelverschiebung der Durchmesser haben wir diese Bogenpaare zusammen geführt und auf diese Weise den Umfangswinkelsatz bewiesen.
In der nachfolgenden Animation musst Du nun die Ecken des Vierecks rechts so legen, dass die beiden Umkreise der Teildreiecke zusammenfallen. (D. h. der vierte Punkt muss auf dem Umkreis der anderen drei Ecken liegen.)
Wenn wir dem roten Winkel die roten Bögen zuordnen können, dann gehören die beiden anderen Bögen zum grünen Winkel.
Auf diese Weise wird die Kreislinie des Umkreises wieder in zwei Teile zerlegt.
Aufgabe:
- Ein Sehnenviereck besitzt (wie jedes Dreieck) einen eindeutigen Umkreis. Welche Beziehung gilt im Sehnenviereck für gegenüberliegende Winkel? Formuliere eine Vermutung.
Versuche diese Vermutung mit Hilfe des Umfangswinkelsatz bzw. der Aussage über Mittelpunktswinkel zu beweisen.
(Siehe Schritte 1-4 beim Beweis des Umfangswinkelsatz. Beachte dass die Größe des roten Kreisbogens/Umfangswinkels bereits durch die Wahl des "Durchmesserpaares" in Schritt 2 festgelegt ist.)