Zurück

Der Schwerpunkt beim Dreieck

Schwerelinie im Dreieck Hängt man ein Dreieck an einer Ecke auf und lässt gleichzeitig vom Aufhängepunkt eine Schnur mit einem Gewicht herab hängen, so beschreibt die Schnur eine "Schwerelinie" des Dreiecks. Auf diese Weise findet man zu jeder Ecke genau eine Schwerelinie, die jeweils von einer Ecke durch die gegenüberliegende Seitenmitte verläuft. Diese drei Strecken heißen Seitenhalbierende. Sie schneiden sich in einem Punkt - dem Schwerpunkt S des Dreiecks.

Eine schöne Animation zur Konstruktion des Schwerpunktes mit Zirkel und Lineal findest Du hier:

Animation zur Konstruktion des (Massen-)Schwerpunktes beim Dreieck

Beachte:

Der Begriff Schwerpunkt ist beim Dreieck nicht ganz eindeutig. Auf die oben beschriebene Art haben wir den Schwerpunkt der Dreiecksfläche gefunden (auch Massenschwerpunkt eines homogenen Dreiecks oder physikalischer Schwerpunkt der Dreiecksfläche).
Dieser Schwerpunkt stimmt mit dem Schwerpunkt der Dreiecksecken überein.

Neben diesem Massenschwerpunkt gibt es auch den Schwerpunkt der Dreieckslinien (auch Schwerpunkt des Dreiecksumfangs). Dieser Punkt wird als Spiekerpunkt (oder Schwerpunkt des Dreiecksumfangs) bezeichnet.

Hinweise:

Jede Seitenhalbierende teilt das Dreieck in zwei flächengleiche Hälften. (Dies bei einer Winkelhalbierenden im Allgemeinen nicht der Fall). Nachweis der Flächengleichheit.
Der Schwerpunkt der Dreiecksfläche teilt die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1. Zum Beweis.
Durch zentrische Streckung am Schwerpunkt mit dem Faktor -0,5 lässt sich der Höhenschnittpunkt H in den Umkreismittelpunkt U überführen. Alle drei Punkte liegen somit auf einer Geraden - der Eulergeraden - und der Schwerpunkt teilt die Strecke HU im Verhältnis 2:1. Das ursprüngliche Dreieck wird hierbei zum Seitenmittendreick.
Jede ebene Fläche besitzt einen Schwerpunkt. Hierzu bestimmt man auf die oben beschrieben Weise den Schnittpunkt zweier Schwerelinien. Alle anderen Schwerelinien verlaufen ebenfalls durch diesen Schwerpunkt.
Bei festen Körpern findet man den Schwerpunkt durch Ausbalancieren auf einem Finger.Bei schmalen Gegenständen (z. B. einem Besen) genügt es, wenn man den Gegenstand auf zwei Finger legt und die Finger langsam aufeinander zubewegt. Schließlich liegen die Finger nebeneinander und man kann vorsichtig einen Finger weg nehmen.
Durch zentrische Streckung mit dem Faktor -2 am Flächenschwerpunkt lässt sich der Spiekerpunkt in den Inkreismittelpunkt des Dreiecks überführen. Damit liegen diese drei Punkte auf einer Geraden und der Schwerpunkt teilt die Strecke zwischen Inkreismittelpunkt und Spieker-Punkt im Verhältnis 2:1. Siehe: Besonderdere Punkte im Dreieck und Der Spiekerpunkt als Schwerpunkt des Dreiecksumfangs.
Aus den Längen der drei Seitenhalbierenden lässt sich mit Zirkel und Lineal das zugehörige Dreieck konstruieren. Dieser Aufgabentyp gehört zu den anspruchstvollsten Fragestellungen in diesem Themenbereich.
Dynamische Animation dieser Aufgabenstellung mit Lösungshinweisen.