Die Kreiszahl pi
Laut Definition besitzt ein Kreis mit dem Radius von einer Längeneinheit
(Einheitskreis) exakt pi Flächeneinheiten.
Zur näherungsweisen Bestimmung der Kreiszahl pi benötigt man daher ein
Verfahren zur Berechnung der Kreisfläche. Die folgenden Animationen ( Nährung für pi über
einb. regelm. Vielecke und Nährung für pi über
umb. regelm. Vielecke) beschreiben hierfür zwei Möglichkeiten.
Die Aufgaben am Seitenende ermöglichen eine Vernetzung des
Themas u. a. mit der Prozentrechnung und der Fehlerrechnung.
Weitere Verständnisfragen und Aufgaben werden von der Mathematik-Redaktion
gerne angenommen und veröffentlicht Mail an Redaktion
Mathematik.
Hinweise zu den Animationen:
- Beachten Sie, dass der erste Aufruf der Animationen etwas Zeit in Anspruch nimmt. (Sie benötigen zur Anzeige Java 1.4.2 oder höher.)
- Mit dem Schieberegler (N) kann die Eckenzahl der Vielecke verändert werden.
- Der Einheitskreis wird hier mit regelmäßigen Vielecken beschrieben. Die Flächenbestimmung solcher Vielecke ist verhältnismäßig einfach und wird hier nicht behandelt. (Siehe dazu z. B. Infomationen zu regelmäßigen Vielecken).
- Bei der hier vorgestellten Animation lässt sich Eckenzahl über einen Schieberegler verändern. Der Flächeninhalt des entsprechenden Vielecks wird automatisch berechnet. Auf Wunsch kann eine Fehlerrechnung angezeigt werden.
- Die Animation lässt sich mit dem hellblauen Pfeilsymbol (oben rechts) in den Anfangszustand zurück setzten.
Nährung für pi über "einbeschriebene regelmäßige Vielecke"
Alle Ecken der Vielecke liegen auf der Kreislinie des Einheitskreises. Somit wird die Kreiszahl durch die Vielecksflächen in diesem Fall "von unten" angenähert."Nährung für pi über "umbeschriebene regelmäßige Vielecke"
In diesm Fall berühren die Seitenmitten der Vielecke (als Tangenten) die Kreislinie des Einheitskreises. Somit wird hier die Kreiszahl durch die Vielecksflächen "von oben" angenähert."Aufgaben:
- Bei jedem rechtwinkligen 30°-Dreieck ist die kürzeste Seite genau halb so lang wie die längste. Warum folgt aus dieser Tatsache unmittelbar, dass das einbeschriebenen 12-Eck die Fläche 3 besitzt?
- Gib zu beiden Animationen den Wert für N an, bei dem der relative Fehler für den Näherungswert die 1%-Marke (0,1%-Marke) unterschreitet.
- Bestimme zu einem beliebigen Wert für N den Mittelwert aus beiden Näherungen. Berechne für diesen Mittelwert den absoluten und relativen Fehler. Vergleiche das Ergebnis mit den angezeigten Fehlerwerten in den beiden Animationen. Interpretiere das Ergebnis.
- Erstelle eine Excel-Tabelle mit den Spalten Eckenzahl N / Fläche einb.N-Eck /rel.Fehler/ Fläche umb.N-Eck / rel.Fehler/ Mittelwert einb.-umb. /rel.Fehler). Finde auf diese Weise den Wert für N, bei dem der Mittelwert der entsprechenden Vielecksflächen die 1%-Marke (0,1%-Marke) unerschreitet.