Der goldene Schnitt
beschreibt eine Proportion - also ein Verhältnis zweier Längen. Dieses besondere Verhältnis begegnet uns nicht nur in der Mathematik, sondern auch in der Kunst, der Architektur und sogar in der Biologie. Interessanterweise werden auch Bücher nach diesen Proportionen hergestellt: hier entspricht das Verhältnis aus der Papierfläche zur bedruckten Fläche in vielen Fällen gerade unserem golden Schnitt.
Passend zum Dokument kannst du bei folgender Animation zur Verhältnisgleichung des goldnen Schnitts die
Längenverhältnisse beim regelmäßigen Fünfeck und beim Pentragramm bestimmen. Hier lohnt es sich übrigens, auf die
Streckenverhälnistreue von ähnlichen Figuren
hinzuweisen und diese Eigenschaft mit der Längentreue von kongruenten
Figuren zu vergleichen.
Bei der nachfolgende Zusammenstellung wird im Wesentlichen aus der
Definition des goldenen Schnittes eine Verhältnisgleichung aufgestellt.
Diese führt mit wenigen Umformungen auf die quadratische Gleichung des
goldenen Schnitts. Einfache Aufgaben und Fragen, sowie eine "traurige"
Geschichte sollen Freude und bleibendes Interesse an diesem Thema
wecken.
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Der Satz des Ptolemäus und der goldene Schnitt
Da alle Ecken eines regelmäßigen Fünfecks auf einem gemeinsamen Kreis liegen, kann man je vier Ecken eines regelmäßigen Fünfecks als Sehnenviereck betrachten und darauf den Satz des Ptolemäus anwenden. Hieraus folgt sofort die bekannte Verhälnisgleichung des goldenen Schnitts.