Die Kettenregel

Damit Sie die folgende Herleitung der Kettenregel verstehen, benötigen Sie folgendes Vorwissen:

• Die Definition der Ableitung über den Grenzwert des Differenzenquotienten (mit der h-Methode).
• Kenntnis von Funktionsverkettungen und die Entstehung des zugehörigen Schaubildes.

Tipps:

1. Betrachten Sie als Vorübung zur Funktionsverkettung die folgende Animation: Interaktive Übungen zur Verkettung von Funktionen.
2. Welcher Zusammenhang besteht zwischen innerer, äußerer Funktion und der Ableitungsfunktion der Verkettung?
   Mit GeoGebra oder einem CAS-Taschenrechner können zunächst verschiedene Funktionsverkettungen gebildet werden. Sowohl GeoGebra, als auch ein CAS-Taschenrechner können die zugehörige Ableitungsfunktion bilden. Auf diese Weise gelangt man bereits unter Umständen bereits nach wenigen Beispielen zu einer Vermutung für die Bildung einer Ableitungsregel.

Beantworte folgende Aufgaben schriftlich:

1. Wie entstehen die beiden Punkte P_x und P_x+h? Klicken Sie hierzu auf "Animation ein" und erklären Sie die Bedeutung der Pfeile. Mit der Pause-Taste kann man den Fortlauf der Animation unterbrechen. Verändern Sie mit den Schiebereglern auch die Werte für x und h.
2. Stellen Sie den Differenzenquotienten für die verkettete Funktion f(x)=u(v(x)) mit der h-Methode auf.
3. Wie sieht der Differenzenquotient der inneren (roten) Funktion v(x) aus?
4. Drücken Sie die blauen x-Werte mit Hilfe der roten Funktion und den entsprechenden x-Werten aus. Stellen Sie mit diesen Ausdrücken den Differenzenquotienten für die äußere (blaue) Funktion u(v) auf.
5. Beachten Sie, dass die blauen y-Werte für u(v) den (grünen) y-Werten von P_x und P_x+h entsprechen.
   Ebenso entsprechen die y-Werte der inneren (roten) Funktion den x-Werten der äußeren (blauen) Funktion.
   Damit lässt sich der Differenzenquotient von der verketteten Funktion mit den Differenzenquotienten der inneren und äußeren Funktionen ausdrücken. Betrachten Sie hierzu die Differenzenquotienten der innerern und äußeren Funktion (3.+4.) sowie den Differenzenquotienten der verketteten Funktion (2.).
6. Warum benötigt man für die Kettenregel als Voraussetzung die Differenzierbarkeit der beiden inneren Funktionen? Wie äußert sich das in den Schaubildern.

Hinweise:

• Die Schieberegler lassen sich mit der Maus und auch mit den Pfeiltasten der Tastatur bewegen. Die zweite Möglichkeit ermöglicht eine genauere Einstellung der gewünschten Zahlenwerte.
• Bei ausgeschalteter Animation können die innere und äußere Funktion mit Hilfe der grünen Schaltfläche verändert werden.
• Das Schaubild der grünen Funktion f kann verborgen werden. Hierdurch lassen sich Übungen erzeugt, bei denen die Ableitung einer verketteten Funktion grafisch (d. h. mit Hilfe der Steigungen entsprechender Tangenten) aus den Schaubildern bestimmt werden muss.