Von der Sekantensteigung zur ersten Ableitung

Ähnlich wie beim Kreis können wir eine Tangente durch Sekanten annähern, indem wir die beiden Sekantenpunkte immer näher (unendlich nahe) aneinander "schieben". Wenn sie übereinander liegen, gibt es zwar keine Sekante mehr, falls allerdings eine "Grenzsekante" existiert, können wir diese als Tangente interpretieren. In der nachfolgenden Animation ist dies nicht überall der Fall (in vier der acht Stufen funktioniert dies nicht an jeder Stelle).

Mit Hilfe des Differenzenquotienten lässt sich die Steigung einer (durch zwei Punkte festgelegten) Geraden mathematisch beschreiben. Dieser etwas komplizierte Satz beschreibt mit Fachbegriffen nichts anderes als den Ausdruck "Steigung = Hochwert durch Rechtswert im Steigungsdreieck". Hochwert und Rechtswert sind hierbei Differenzen:
(HW=f(x₀+h)-f(x₀) und RW=(x₀+h)-x₀=h)

Im Grenzfall "läuft h gegen null". Rechnerisch entspricht dies dem "Grenzwert des Differenzenquotienten" oder dem "Differenzialquotienten". Achtung, er existiert nicht immer!

Hinweise zur Animation:

• Mit dem Pfeilsymbol oben rechts auf der Zeichenfläche kann die Konstruktion in den Anfangszustand zurückgestellt werden.
• Die Werte von x₀ und h lassen sich mit den grünen Kreisen auf der x-Achse verändern.
• Nicht alle Funktionen besitzen überall Tangenten. In vier der acht Fälle funktioniert die oben beschriebene Vorgenhensweise nicht an allen Stellen.
• Für h=0 verschwindet die Sekante in der Animation. Dies muss so sein, denn ohne einen zweiten Punkt ist sie nicht definiert.