Rotationskörper

Mit der nachfolgenden Animation können Sie selbstständig die Formel für das Volumenintegral bei Rotationskörpern herleiten.

Vorwissen:

Sie kennen bereits die Herleitung des Integrals über Zerlegungssummen. Unabhängig davon ob man als Näherung die Ober- Untersumme oder Summen mit Mittelwerten verwendet, erhält man bei hinreichend großen Zerlegungen beliebig exakte Werte für das Integral.
Sie wissen, dass der Ausdruck dx im Integral für die (unendlich kleine) Zerlegungsbreite steht.
Sie wissen, dass die Formel für das Volumen eines Zylinders V=pi * r² * h lautet.

Für die Animation benötigen Sie auf Ihrem Rechner Java 1.4 oder höher
Der erste Start kann etwas dauern.
Die Animation lässt sich mit einem Klick auf das hellblaue Pfeilsymbol in den Anfangszustand zurückversetzen.
Mit den Schiebereglern lassen sich die rechte Intervallgrenze sowie die Steigung der Geraden verändern. (Beim Setzen der Haken erscheinen weitere Schieberegler.)"

Machen Sie sich anhand der Animation klar, wie man die (Volumen-)Integralformel für Rotationskörper durch Nährung mit Zylinderscheiben erhält. Beachten Sie, dass man konstante Faktoren aus dem Integral herausziehen darf (Distributivgesetz).
Berechnen Sie das Integral von 0 bis 6 des Rotationskörpers zur Ursprungsgeraden der Funktion f(x)= 0,5 x.
Welche Form hat der in der obigen Aufgabe beschriebene Rotationskörper?
Welchen Grundflächenradius und welche Höhe besitzt er? Bestimmen Sie zur Kontrolle das Volumen mit Hilfe der entsprechenden Volumenformel (ohne Integralrechnung).