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Rotationskörper

Mit der nachfolgenden Animation können Sie selbstständig die Formel für das Volumenintegral bei Rotationskörpern herleiten.

Vorwissen:

  • Sie kennen bereits die Herleitung des Integrals über Zerlegungssummen. Unabhängig davon ob man als Näherung die Ober- Untersumme oder Summen mit Mittelwerten verwendet, erhält man bei hinreichend großen Zerlegungen beliebig exakte Werte für das Integral.
  • Sie wissen, dass der Ausdruck dx im Integral für die (unendlich kleine) Zerlegungsbreite steht.
  • Sie wissen, dass die Formel für das Volumen eines Zylinders V=pi * r² * h lautet.

Zur Animation:

  • Für die Animation benötigen Sie auf Ihrem Rechner Java 1.4 oder höher
  • Der erste Start kann etwas dauern.
  • Die Animation lässt sich mit einem Klick auf das hellblaue Pfeilsymbol in den Anfangszustand zurückversetzen.
  • Mit den Schiebereglern lassen sich die rechte Intervallgrenze sowie die Steigung der Geraden verändern. (Beim Setzen der Haken erscheinen weitere Schieberegler.)"

Aufgaben:

  • Machen Sie sich anhand der Animation klar, wie man die (Volumen-)Integralformel für Rotationskörper durch Nährung mit Zylinderscheiben erhält. Beachten Sie, dass man konstante Faktoren aus dem Integral herausziehen darf (Distributivgesetz).
  • Berechnen Sie das Integral von 0 bis 6 des Rotationskörpers zur Ursprungsgeraden der Funktion f(x)= 0,5 x.
  • Welche Form hat der in der obigen Aufgabe beschriebene Rotationskörper?
    Welchen Grundflächenradius und welche Höhe besitzt er? Bestimmen Sie zur Kontrolle das Volumen mit Hilfe der entsprechenden Volumenformel (ohne Integralrechnung).