Lösung Funktionenschar (Parameterfunktion)
Die Steigung m in der Funktionsgleichung von Vorüberlegung 2 drücken wir mit der Ableitung an der Stelle x0 aus (Vorüberlegung 3). Bei der Sinusfunktion (f(x) = sin x) folgt somit an der Stelle x0:
m = f ' (x0) = cos x0.
Der y-Wert des Berührpunktes P stimmt mit dem Sinuswert an der Stelle x0 überein - also:
y-Wert von P = y0 = sin x0.
Es folgt für die Tangentengleichung durch P:
t: y = cos x0*(x - x0) + sin x0.
Wenn wir den x-Wert unseres Tangentenberührpunktes (x0) durch eine Parametervariable (z. B. k) ersetzen, erhalten wir für die Gesamtheit aller Tangenten die übliche Darstellung als Funktionenschar fk(x) durch:
fk(x) = cos k*(x - k) + sin k; (mit einer reellen Zahl k).
Weitere Aufgaben:
- Wiederhole die Aufgabenstellung mit der Normalparabel (anstatt dem Schaubild der Sinusfunktion).
- Was ändert sich, wenn man eine Hyperbel als Schaubild zugrunde legt?"
Gibt man in die Eingabezeile (unten in der Animation) den Funktionsterm der "Grundfunktion" in der Form f(x)= ... ein, dann wird auch die zugehörige Tangente angepasst - leider aber nicht der zugehörige Funktionsterm zum aktuellen Parameterwert.