Abstand Punkt-Gerade (im Raum)
Die Berechnung des Abstandes eines Punktes zu einer Geraden zählt in der analytischen Geometrie zu den Grundaufgaben. Wir stellen im Folgenden verschiedene Wege zur Abstandsberechnung vor.
Möglichkeit 1: Abstandsbestimmung mit einer Hilfsebene
Beim Standard-Verfahren muss man zunächst eine Gleichung für eine Hilfsebene bestimmen. Hiermit wird anschließend der Punkt mit kürzestem Abstand auf der Geraden berechnet. Mit diesem "Durchstoßpunkt" der Geraden durch die Hilfsebene wird im letzten Schritt der Abstand zum gegebenen Punkt ermittelt.
Zum Verständnis der Lösung benötigen Sie Kenntnisse über Vektoren und deren Länge, Skalarprodukt, Ebenen als Koordinatengleichung sowie den Schnitt einer Ebene mit einer Geraden.
Im folgenden Dokument wird die Vorgehensweise an einem Beispiel ausführlich beschrieben. (Beachten Sie die Verständnisfragen zum Text unterhalb des Downloads.)
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Verständnisfragen:
- Welche gemeinsame Eigenschaft besitzen die Punkte der Hilfsebene?
- Warum wird im ersten Schritt das Skalarprodukt verwendet?
- Wie gelangt man mit Hilfe der Gleichung der Hilfsebene zu den Koordinaten des Punktes mit minimalem Abstand zur Geraden?
- Beschreibe die Vorgehensweise bei der Lösung dieses Abstandproblems kurz in eigenen Worten.
Hinweise:
- Wenn man schnell zur Koordinatengleichung der Hilfsebene kommen möchte, kann man auf die Berechnung des Skalarproduktes verzichten. Stattdessen verwendet man die Koordinaten des Richtungsvektors von g als Koeffizienten der Ebenengleichung. Setzt man nun die Koordinaten von A auf der linken Seite ein, erhält man die konstante Zahl auf der rechten Seite der Koordinatengleichung (hier 0).
- Mit der Hesse-Normalform-Abstandsformel (HNF-Formel) sollte man den Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden nicht bestimmen. (Die Berechnung des Normalenvektors der benötigten Hilfsebene ist viel zu aufwendig - vielleicht aber eine schöne Übungsaufgabe.)
Möglichkeiten 2/3/4: Abstandsbestimmung mit Abstandsfunktion
(durch Minimierung eines Schaubildes, Differenzieren oder durch Scheitelbestimmung)
Beim Einsatz eines grafikfähigen Taschenrechners (GTR) oder Computer Algebra Systems (CAS) führt ein eleganter Weg zu einer "Abstandsfunktion". Diese berechnet zu jedem Parameterwert den Abstand zwischen dem zugehörigen Geradenpunkt und dem gegebenen Punkt.
Bei dieser Vorgehensweise wird kein Skalarprodukt verwendet. Auch der Schnitt einer Ebene mit einer Geraden entfällt. Hier benötigt man lediglich einfache Grundkenntnisse der Vektorrechnung.
Die nachfolgend downloadbare Beschreibung erklärt (am Beispiel von Möglichkeit 1), wie man mit Hilfe der Abstandsfunktion auf drei verschiedene Arten (auch ohne Rechner) den minimalen Abstand zwischen der Geraden und dem Punkt bestimmen kann.
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