Exakte Gleichungen für die Selbstinduktion beim Einschalten.

Möchte man den Verlauf der Stromstärke und der Induktionsspannung genauer untersuchen, wird man meist auf Simulationsverfahren (Crocodile Physics, Modellbildungssysteme, Excel, usw.) zurückgreifen, die das Problem über ein Iterationsverfahren lösen.

Als mathematische Grundlagen für eine geschlossene Behandlung der Vorgänge bei der Kondensatorladung und Induktion bräuchte man die Lösung der Differentialgleichung erster Ordnung und die Exponentialfunktion.
Diese sind bis zu dem Zeitpunkt, zu dem die Physik sie bräuchte, leider meist noch nicht im Mathematikunterricht behandelt worden.

1.) Ein Lösungsversuch für I(t).

Behauptung : Für die Stromstärke I(t) gilt folgende exakte Funktion:

Probe mit den Extremwerten:

2.) Die Änderung der Stromstärke.

Die Änderung der Stromstärke ist die Ableitung der I(t) - Funktion nach der Zeit t. Man muss also wissen, wie man eine Exponentialfunktion e^x ableitet.
Im Mathematikunterricht lernt man folgenden Zusammenhang, den man auch in einer Formelsammlung finden kann:

Damit folgt dann für die Änderung der Stromstärke:

Der erste Faktor ist konstant und unabhängig von der Zeit t und fällt daher beim Ableiten weg.
Der Vorfaktor kommt von der Kettenregel. (der rot gefärbte Ausdruck entspricht also "a").
Der Spulenwiderstand R_sp kürzt sich im Vorfaktor weg. Das Vorzeichen wird positiv ( "-" mal "-" ).

Probe mit den Extremwerten, ob dies sinnvoll ist:

t = 0 s : dann wird der Exponentialfaktor e-Rsp*0 / L = 1 und weiter wird

t ⇒ ∞dann geht der Exponentialausdruck gegen 0 und die Stromstärkeänderung strebt gegen 0

3.) Die Induktionsspannung beim Einschalten:

Für die Induktionsspannung ergibt sich dann:

• t = 0 s: der Exponentialfaktor e^{-Rsp*0 / L} ist 1 : die Induktionsspannung ganz zu Beginn
  ist -U_q.
• t ⇒ ∞ der Exponentialausdruck geht gegen 0 und die Induktionsspannung strebt ebenfalls gegen 0.
  .

4.) Die Ansatzprobe des oben behaupteten Ansatzes:

Die Stromstärke im Widerstand der Spule ergibt sich aus der Spannung der Quelle und der Induktionsspannung
( Differentialgleichung 1. Ordnung ).

Wir setzen in diesen Ansatz die oben gefundenen Gleichungen ein und kürzen entsprechend.

Links und rechts des Gleichheitszeichens steht dasselbe. Die oben angegebene Funktion für I(t) ist also Lösungsfunktion der Differentialgleichung.

5.) Zusammenfassung:

Für die Selbstinduktion beim Einschalten gelten also folgende exakte Gleichungen:

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