Elongationsenergie beim Wagen zwischen zwei Federn.

Auf dieser Seite wird gezeigt, dass das Prinzip der Elongationsenergie nicht nur eine Eigenschaft des (senkrechten) Feder-Masse-Pendels darstellt, sondern sehr allgemeinerungsfähig ist. Wir betrachten den Wagen zwischen zwei (gleichen) Federn als Schwingungssystem.

1) Anfangssituation.

Die beiden - zunächst ungespannten - Federn werden am Wagen eingehängt und dabei gespannt.
Wenn wir zwei gleiche Federn verwenden, werden beide dabei um die Strecke s₀ verlängert.
Da für die Energie die Spannungsrichtung keine Rolle spielt (bei der Spannenergie wird s₀ ja quadriert) muss der Experimentator hier zunächst beim Spannen in beide Federn "Energie hineinstecken".

Dies ist:

2) Der Wagen wird ausgelenkt.

Nun wird der Wagen nach rechts ausgelenkt. Um es zeichnerisch einfach zu machen, ist hier s-Dach gerade die halbe Wagenlänge, das gilt aber auch allgemein, sofern s-Dach < s₀ ist.
Der Wagen ist zunächst in Ruhe, also ist die Bewegungsenergie hier 0.
Lageenergie brauchen wir bei diesem Problem nicht zu berücksichtigen, denn die Schwingung spielt sich ja immer in derselben Höhe ab.

Beim Auslenken wird die Feder 1 (links) um die Strecke s-Dach länger, sie hat nun also mehr Energie gespeichert, dafür verkürzt sich die Feder 2 (rechts) ebenfalls um s-Dach und hat nun weniger Energie gespeichert.

Was bedeutet das für die Gesamtenergie des Systems? Bleibt diese dabei unverändert?

Schreiben wir es auf und multiplizieren aus:

Schreiben wir statt der Federhärten D auch hier die Richtgröße D* - die Summe der beiden Federhärten, so folgt für diese zusätzliche Energie beim Auslenken:

Die Energie hat also zugenommen und zwar nach der gleichen Formel für die Elongationsenergie, die wir auch beim senkrechten Feder-Masse-Pendel erhalten hatten!
Der einzige Unterschied ist, dass wir hier für D nicht die Federhärten, sondern die Richtgröße D*, also die Summe der Federhärten einsetzen müssen.

Wäre der Wagen nach links ausgelenkt worden, hätte sich dasselbe ergeben, Feder 1 und Feder 2 hätten dabei einfach die Rollen getauscht.

3) Situation in der Gleichgewichtslage.

Der Wagen wird nun von rechts aus der ausgelenkten Position aus der Ruhe losgelassen.
Welche Bewegungsenergie und welche Geschwindigkeit v-Dach hat er in der Gleichgewichtslage?

In der Gleichgewichtslage bewegt sich der Wagen mit maximaler Geschwindigkeit und damit maximaler Bewegungsenergie nach links. Aber auch die beiden Federn sind immer noch um s₀ gespannt.
Machen wir wieder die Energiebilanz:

wieder steht links die Startenergie, die wir nicht berücksichtigen müssen (s.o.).
Vergleichen wir also die Elongationsenergie in der maximalen Auslenkung rechts und die Bewegungsenergie in der Gleichgewichtslage so gilt:

4) .. und wie ist das dazwischen? - Eine Beispielaufgabe.

Was können wir mit der Elongationsenergie nun anfangen?

Wir können damit z.B. eine Aufgabe, die mit den Schwingungsgleichungen schwierig zu lösen wäre, recht einfach bewältigen:

Aufgabe:
Ein Wagen der Masse m = 500 g ist zwischen zwei gleichen Federn der Federhärte D = 10 N/m eingespannt. Er wird um 20 cm nach rechts ausgelenkt und von dort aus der Ruhe losgelassen.

Welche Bewegungsenergie und welche Geschwindigkeit hat er auf halber Strecke, d.h. bei 10 cm Auslenkung?

Lösung:
Anfängliche Elongationsenergie nach Auslenken: W_Start = 1/2 * D-Stern * (s-Dach)² = 1/2 * 20 N/m * (0,2 m)² = 0,4 J.

Wenn der Wagen nur noch 10 cm ausgelenkt ist, dann ist die Elongationsenergie kleiner, dafür steckt nun ein Teil der Anfangsenergie in der Bewegung.
Für die Elongationsenergie bei Auslenkung 10 cm gilt:
W_el = 1/2 * D-Stern * (s)² = 1/2 * 20 N/m * (0,1m)² = 0,1 J.
Bei halber Auslenkung ist die Elongationsenergie nicht etwa auch halb so groß, sondern nur 1/4, dies liegt an der Quadrierung!

In der Bewegung stecken also an dieser Stelle W_Start - W_el = 0,4 J - 0,1 J = 0,3 J, also 3/4 der Anfangsenergie.
Mit W = 1/2 * m * v² folgt daraus nach Auflösen nach v das Ergebnis 1,09 m/s.

Erweiterung:

Bestimmt findest du mit der Elongationsenergie und dem Energieerhaltungssatz auch heraus, an welcher Stelle Elongationsenergie und Bewegungsenergie gleich groß sind!
Wie schnell ist der Wagen dort?
(Ergebnisse: s = 14,1 cm , v = 0,89 m/s)

Vergleich zweier Lösungswege, eine Beispielaufgabe