Wie auf dieser Seite dargestellt nimmt die Amplitude einer Schwingungen exponentiell mit der Zeit ab, d.h. nach einer theoretisch unendlich langen Zeit, befindet sich der schwingende Körper in der Nulllage.(Gleichgewichtslage).
Um die Schwingung aufrecht zu erhalten, muß man mit einer sich ebenfalls sinusförmig verändernden Kraft auf das schwingungsfähige System einwirken. Man nennt dies erzwungene Schwingung.
Wie sich das schwingungsfähige System dann verhält, hängt davon ab, wie sich die Frequenz der Anregung und die Eigenfrequenz des Systems sich zueinander verhalten.

Beschreibung.

Es sei F₀·cos(w_f t) die anregende Kraft, die mit der Winkelgeschwindigkeit w_f auf das schwingungsfähige System einwirkt.

Die Bewegungsgleichung des gedämpft schwingenden Körpers ist daher:

Wenn man die Bewegungsgleichung in Form einer Differenzialgleichung angibt, folgt:

Die Lösung dieser Differnzialgleichung ist recht schwierig und wird in der Schule nicht behandelt.

Nach einem Einschwingvorgang, der eine Art Schwebung zwischen der Frequenz der Abregung und der Eigenfrequenz des schwingungsfähigen Systems darstellt, stellt sich ein stationärer Zustand (Gleichgewichtszustand ein).
Wer sich für die genaue mathematische Herleitung interessiert, sei auf die spanische Originalseite verwiesen.

Eine Teillösung der Differenzialgleichung ist:

Wobei die Werte für die Amplitude A und den Phasenwinkel d folgende Form haben

Man sieht, dass beide Faktoren von der Differenz der beiden Frequenzen abhängen.

Die Darstellung zeigt die Abhängigkeit der Amplitude der erzwungenen Schwingung in Abhängigkeit von der Frequenz (genauer : Winkelgeschwindigkeit) mit der die äußere Kraft einwirkt. Wie man an der Formel oder an der Darstellung sieht, nimmt die Amplitude der erhaltenen erzwungenen Schwingung schnell ab, wenn die Frequenz wf, mit das System von der äußeren Kraft angeregt wird, größer oder kleiner als die Eigenfrequenz w0 des schwingungsfähigen Systems ist.

• Im Idealfall, also in einem ungedämpften System, wird die Amplitude der erzwungenen Schwingung sehr groß und geht gegen unendlich, wenn die Frequenz der Anregung w_f gleich der Eigenfrequenz des schwingungsfähigen Systems w₀ ist.
  (rote Kurve)
• in der Realität, wenn es eine Dämpfung gibt (l>0, wird die Amplitude der erzwungenen Schwingung nicht unendlich, aber maximal, wenn die Frequenz der Anregung w_f gleich der Eigenfrequenz w₀ wird.
  (blaue Kurve)

Das Hauptmerkmal des Gleichgewichtszustand ist, dass die Geschwindigkeit der schwingenden Masse

in Phase ( d=0) mit der anregenden Kraft ist, wenn die Anregungsfrequenz w_f gleich der Eigenfrequenz w₀ des schwingungsfähigen Systems ist. Die anregende Kraft F und Auslenkung s sind dann also um 90 Grad phasenverschoben, d.h. bei maximaler Auslenkung ist die anregende Kraft minimal.

Aktivitäten.

Gib folgende Größen ein:

• die Dämpfungskonstante ³, in das Eingabefeld Cte. amortiguamiento
• die Frequenz w_f der Kraft, die die Schwingung erzwingt, in das Eingabefeld Frecuencia
• in dem Programm sind die Eigenfrequenz des schwingsungsfähigen Systems w₀=100 rad/s, und die Amplitude F₀ der anregenden Kraft fest vorgegeben und können nicht verändert werden.

Drücke den Knopf Empieza.

Im linken Teil des Applets sieht man die erzwungene Schwingung, die sich durch die Einwirkung der äußeren Kraft, die sich mit der Winkelgeschwindigkeit w_f verändert, ergibt.

Im rechten Teil des Applets kann man sich orientieren, wie die Anregungsfrequenz relativ zur Eigenfrequenz des Systems liegt.
Oben ist die Amplitude als Funktion der Anregungsfrequenz dargestellt, unten der Phasenwinkel. Beide Kurven hängen von den eingegebenen Werten für die Dämpfung und die Anregungsfrequenz ab.

Mit Pausa kann man die Darstellung unterbrechen, mit Continua fortsetzen. Paso schaltet im Einzelschritt-Modus weiter.