Einheitskreis - der "König der Kreise"

Bei den Kreisen sind alle Kreise "verwandt", denn sie gehen durch Verschiebung, Drehung (im Raum) und zentrische Streckung auseinander hervor. Kreise sind somit alle zueinander ähnlich. Streckt man sie vom Mittelpunkt aus mit einem Faktor k, so nehmen (falls k>1) alle Längen des gestreckten Kreises im Vergleich zum Ausgangskreis um das k-fache zu. Bei Flächen beträgt der Änderungsfaktor k². (Falls der Streckfaktor zwischen 0 und 1 liegt verkleinern sich selbstverständlich die Fläche um das k²-fache und die Längen um das k-fache.)

Aus diesem Grund kommt dem Einheitskreis eine besondere Bedeutung zu. Gemäß Definition besitzt er (mit dem Radius 1 [Längeneinheit, LE] gerade die Fläche pi [Flächeneinheiten, FE]. (Siehe hierzu Näherung für pi durch die Fläche eines regelmäßigen Vielecks).

Der Umfang des Einheitskreises beträgt somit 2*pi [LE]. Verzichtet man auf die Einheit, so lassen sich durch Anteile von diesem Umfang Winkel bezüglich einem Kreisbogen festlegen - man erhält auf diese Art das so genannte Bogenmaß.

Durch Streckung mit dem Faktor r kann man aus dem Einheitskreis jeden beliebige Kreis "erzeugen". Der Radius wird dabei r LE lang, der Kreisumfang 2*pi*r LE und die Fläche r²*pi FE - entsprechend der Umfangs- und Flächenformel für den Kreis.

Betrachten Sie hierzu auch die Materialien auf dem Landesbildungsserver:

Definitionserweiterung für Sinus und Kosinus am Einheitskreis
Winkelangaben im Bogenmaß