Didaktischer Kommentar

Selbstgesteuertes und handlungsorientiertes Lernen als Hilfe für ein besseres Verständnis des Bruchrechnens

In diesem Beitrag soll gezeigt werden, wie die Grundprobleme der Kinder beim Bruchrechnen mit Hilfe eines induktiven und spät formalisierenden Vorgehens gemildert werden können. Diese Absichten sind in einen Bruchrechenlehrgang eingebettet, bei dem viele Vorgehensweisen zwar schon lang bekannt sind, der aber nach den oben stehenden Kriterien ausgerichtet ist. Der Gang der Unterrichtseinheit beschreibt insbesondere die Teile, die das selbst gesteuerte und handlungsorientierte Lernen als Schwerpunkt haben. Er kann nach Belieben ergänzt und erweitert werden.

Probleme

Wenn eine Lehrerin oder ein Lehrer eine siebte Klasse in Mathematik übernimmt hat er oder sie oft den Eindruck, dass die unbedingten notwendigen Grundkenntnisse aus dem Bruchrechnen nur rudimentär vorhanden sind.

Obwohl das Bruchrechnen in den meisten Fällen vom vorherigen Lehrer auf breiter Basis erarbeitet wurde, fehlt die Nachhaltigkeit des Lernens. Vermutungen gehen in die Richtung, dass zu früh formalisiert und nur mit Hilfe der Rechenregeln auf abstrakter Basis gelernt wird. Die Vorstellung von Brüchen und das tiefere Verstehen des Rechnens mit Brüchen sind nicht gefestigt.

Typische Fehler, vor allem für schwächere Schüler, sind zum Beispiel, dass die Regeln von Addition und Multiplikation verwechselt werden ¾ + 7/8 ergeben auf einmal 10/12! An diesem Beispiel zeigt sich, dass die konkrete Vorstellung des Bruchrechnens nicht gefestigt genug ist. Die rein abstrakte Anwendung von Formeln können viele Kinder dieser Alterstufe noch nicht leisten.

Konsequenzen

Die vertiefte und selbstständige Durchdringung der Inhalte sollte mehr im Vordergrund stehen als die bloße Anwendung von Rechenregeln. Um die Denkfähigkeit zu schulen, darf keine zu frühzeitige Formalisierung erfolgen. Die konkret handelnden Operationen sowie die langsame und schrittweise Abstraktion müssen aus diesem Grund unterrichtlich ausgedehnt werden.

Grundlegung der Unterrichtseinheit

Induktives und selbstgesteuertes Lernen stehen ebenso in der didaktischen Diskussion wie Handlungsorientierung und Lernen durch Kommunikation. Diese Richtungen können nicht allein einen erfolgreichen Unterricht begründen, sondern müssen selbstverständlich mit herkömmlichen Methoden verbunden werden, um ein optimales Ergebnis zu erzielen.

So ist in dieser Unterrichtseinheit das uralte Kuchenmodell die Grundlage. Es wird aber nicht zur Veranschaulichung genutzt, um möglichst schnell auf die Regeln, Begriffe oder Formeln zu kommen, sondern dient dem selbstorganisierten Lernen: Die Kinder bestimmen das Lerntempo und auch die Schnelligkeit, mit der sie auf auf eine abstraktere Ebene wechseln, zumindest teilweise selbst.

Um den Kindern die Vorstellung und den handelnden Umgang zu erleichtern, werden die Brüche für diese Einführung auf einige wenige Nenner beschränkt: /2 /3 /4 /6 /8 und /12. Dafür wird von Beginn an mit Brüchen in gemischter Schreibweise gerechnet, so dass sowohl die Vorstellung von Brüchen als Bruchteile als auch als Zahlen parallel begriffen wird.

Gang der Unterrichtseinheit

Brüche zeichnen und ausschneiden

Arbeitsblatt 1 Brüche zeichnen, Arbeitsblatt 2 Brüche herstellen

Es gibt verschiedene Möglichkeiten und Zeitpunkte, mit den selbst hergestellten Materialien einzusteigen. Hier ist es vorgesehen, das Bruchrechnen mit dem Ausschneiden der Brüche zu beginnen. Neben der Bezeichnung Kuchen ist bei vielen Kindern auch die Auffassung als Pizza sehr beliebt. Beim Konstruieren und Ausschneiden machen die Schülerinnen und Schüler schon vielfältige Erfahrungen über grundsätzliche Eigenschaften der Brüche. Sie bemerken, dass Brüche Bruchteile eines Ganzen sind und dass Brüche Zahlen sind (man kann Brüche größer als 1 legen). Auch dass verschiedene Brüche gleich „aussehen“ entdecken die meisten.

Hier lässt sich eine Übungsphase anschließen, in der verschiedene Darstellungsformen erfahren und geübt werden.

  • Bruchteile als Teile von Rechtecken

  • Anwendung von Bruchoperatoren auf geeignete natürliche Zahlen.

  • Die Umwandlung von gemischter Schreibweise in reine Brüche ist auf Grundlage der ausgeschnittenen Bruchteile konkret von den Schülern selbst zu erarbeiten.

  • Darstellung von Brüchen am Zahlenstrahl

  • Der Aufgabentyp 2/3 von 54 sollte an dieser Stelle eingeführt werden. Denn diese Art von Rechnungen führt später auf den Dreisatz und die ihm verwandten Gebieter.

Wann sind Brüche gleich? Erweitern und Kürzen mit Übungen

Von dieser Erfahrung ausgehend kann das Erweitern und Kürzen auf relativ einfache Art und Weise angeschlossen und geübt werden. Die Kinder legen mit ihren Bruchteilen Brüche, die „gleich aussehen“. Daraus kann dann auf die Zusammenhänge bei Brüchen mit anderen Nennern geschlossen werden.

Bemerkung: Es ist wahrscheinlich nicht sinnvoll, zum Erweitern und Kürzen zu viele Übungen zu machen, da das Rechnen zu schnell mechanisch wird und diese Fähigkeiten später noch genügend geübt werden. Am wichtigsten ist die Erkenntnis, dass es für den gleichen Bruch (unendlich) viele Darstellungsformen gibt.

Addition und Subtraktion gleichnamiger und ungleichnamiger Brüche

Arbeitsblatt 3 Addition und Subtraktion

Nun beginnt die zweite Phase mit konkret handelnden Operationen: Die Schülerinnen und Schüler legen mit Hilfe ihrer Bruchteile Aufgaben zur Addition und Subtraktion. Eine besseres Verständnis wird hierbei auch für den Aufgabentyp erzielt, bei dem ein „Ganzes“ des Minuenden in einen Bruch umgewandelt werden muss.

An der Realschule des Autors ist es vielen Schülern gelungen, auch die Addition und Subtraktion ungleichnamiger Brüche sofort selbst anzuschließen. Selbst die Anwendung der selbst erfahrenen Regeln auf Brüche mit anderen Nennern schaffen viele ohne größere Probleme.

Bei der selbstständigen Erarbeitung ist besonders darauf zu achten, dass die Schüler nicht nur ergebnisorientiert arbeiten, sondern den Rechenweg sauber darstellen. Als Hilfe kann dazu das Arbeitsblatt 4 „Legeanweisungen“ genommen werden. Dort wird die Legetechnik und die schriftliche Fixierung für gleichnamige Brüche standardisiert dargestellt.

Im nächsten Schritt kann eine Übungsphase, in der die Regeln noch nicht formalisiert wurden, angeschlossen werden. Erst dann kommt die visualisierte Formalisierung, die den Kindern ermöglichen soll, die Regeln später nachzulesen und wieder zu verstehen.

Den Abschluss bildet eine weitere Übungsphase mit komplexeren Aufgaben an. Dort spielen auch strukturelle Überlegungen eine Rolle, z.B. „wie findet man den Hauptnenner“.

Multiplikation und Division

Leider gibt es für die Einführung dieser beiden Rechenarten keine Möglichkeit, das frühzeitige Formalisieren genau so wie bei der Addition und Subtraktion zu verhindern. Es bieten sich aber zwei Möglichkeiten an, wenigstens eine schmale Grundlage als konkrete Operation zu liefern. Diese beiden Möglichkeiten werden auch in einigen neueren Schulbüchern beschrieben und sollen deshalb hier nicht zu ausführlich dargestellt werden.

Multiplikation

Schon bei der Einführung wurde die Bedeutung der Aufgabe ¾ von 54 (entspricht ¾ mal 54) heraus gestrichen. Bei bestimmten Aufgaben lässt sich das auch auf die Multiplikation von zwei Brüchen anwenden, z.B.

  • 1 /3 mal ¾ ( 1 /3 von ¾) oder

  • ½ mal ¾ (die Hälfte von ¾).

Die Menge dieser verständlichen und konkret nachvollziehbaren Aufgaben ist aber beschränkt!

Division

Hier gibt es die Möglichkeit auf die altbewährte Interpretation des Teilens als „geht in“ zurück zu greifen, z.B.

  • „wie oft geht 1 /8 in ¾“ oder

  • „wie oft geht ½ in ¼“.

Aber auch hier ist die Menge der Aufgaben beschränkt, vor allem von den bei der auch ein Bruch als Ergebnis erscheint, aus dem sich dann wiederum eine Regel aus dem konkreten Verständnis ableiten ließe.

Diskussionsbedarf

In vielen Schulbüchern taucht das Thema Multiplikation und Division eines Bruches mit einer natürlichen Zahl als Extra-Kapitel mit Extra-Regeln auf. Es ist die Frage, ob die zusätzlichen Regeln die Kinder nicht verwirren, denn vielen fällt es schwer, die wichtigsten Gesetze auseinander zu halten. Die Interpretation von 4 als 4/1 ist zwar etwas „unelegant“ hilft aber, solche zusätzliche Regeln zu vermeiden.

Vermischte Aufgaben - Terme

Um das auseinander Halten der verschiedenen Regeln zu trainieren, muss selbstverständlich eine breite Übungsphase folgen. Die Rechenarten sollten hier zur Gewöhnung an das dauernde Umschalten von Regel zu Regel bunt gemischt sein. Auch einfache Terme eignen sich hierzu ideal.

Textaufgaben

Sachaufgaben, die auf Addition und Subtraktion beruhen, sind für die Kinder sehr einfach nachzuvollziehen. Schwieriger wird es dann häufig, Multiplikation und Division nicht zu verwechseln. Hier ist immer wieder der Rückgriff auf die schon oben erwähnten Interpretationen dieser Rechenarten als „von“ und „wie oft geht in?“ notwendig.