Tipps zur Prozentrechnung

Prozentsätze sind Zahlen!

Prozentsätze drücken Anteile von einem Grundwert aus.
Jeder Prozentsatz besteht aus dem Prozentzeichen und der zugehörigen Prozentzahl, die im Allgemeinen mit p bezeichnet wird. So besteht 5% aus der Prozentzahl 5 und dem Prozentzeichen als Abkürzung für die Multiplikation mit dem Bruch 1/100 (oder der Dezimalzahl 0,01). Insbesondere beim Einsatz eines Taschenrechers empfiehlt sich die Eingabe der Dezimalzahl 0,05 (statt 5/100).

Das Wörtchen "von"

Die meisten Aufgaben zur Prozentrechnung lassen sich mit den folgenden Tipps auf einfache Weise lösen. Meist ist entweder der Prozentsatz gesucht oder es soll bei gegebenem Prozentsatz und Grundwert der zugehörige Prozentwert bestimmt werden.

Die folgende Vorgehensweise leuchtet auch Schülerinnen und Schülern der 7. Klasse ein und wird gerne aufgenommen, denn hierbei entfällt das (umständliche) Rechnen mit dem Dreisatz oder das fehlerträchtige Umformen von Formeln.
Bei der Prozentrechnung begegnet uns das Wörtchen "von" in zweierlei unterschiedlichen Bedeutungen:

"Von" als Abkürzung für "Vielfaches von":

Die Aufgabe "Bestimme das dreifache von 5" kann jedes Grundschulkind in den mathematischen Rechenausdruck 3*5 umformen. Logischerweise ist das Multiplikationssymbol eine Abkürzung für den Ausdruck "Vielfaches von".

Auf die gleiche Weise lassen sich nun Aufgaben mit gesuchtem Prozentwert berechnen. So besitzt das Wort "von" bei der Aufgabe "Bestimme 200% von 125" die gleiche Bedeutung wie im obigen Beispiel. Wir verwenden es in diesem Zusammenhang als Abkürzung für "das Zweifache von". Damit liegt das Ergebnis 250 auf der Hand.

Natürlich kann man 200% durch jeden beliebigen Prozentsatz ersetzten. So entspricht die Aufgabe "Wie viel sind 20% von 125?" der Fragestellung "Wie viel ist das Ein-fünftel-fache von 125?" oder kurz: 1/5*125=?.

"Von" als Abkürzung für "Anteil von":

Bei der Aufgabe "7 von 28 verstehen nichts von Prozentrechnung" macht die obige Bedeutung keinen Sinn. In diesem Fall handelt es sich um einen Anteil. Dies drücken wir mathematisch durch einen Quotienten aus. Somit liefert der Bruch 7/28=1/4=25% das Ergebnis, und 25% der Getesteten verstehen nichts vom Prozentrechnen.

Auf diese Art lassen sich sämtliche Aufgaben lösen, bei denen der Prozentsatz gesucht ist, sofern Prozentwert und Grundwert gegeben sind.

Interpretation von Faktoren wie 1,05 oder 0,85

Multipliziert man eine beliebige Zahl mit dem Faktor 1,05, so entspricht das einer Vergrößerung dieser Zahl um 5%, (1,05 * Zahl = (1+0,05)*Zahl=Zahl+5%*Zahl).

Entsprechend entspricht der Faktor 0,85 einer Verringerung der Zahl um 15% (0,85*Zahl=(1-15%)*Zahl=Zahl-15%*Zahl).

Da bei Zinseszinsaufgaben meist nach jeweils genau einem Jahr bei gleichbleibendem Zinssatz die Zinsen gutgeschrieben werden, lässt sich dieses Wissen bei solchen Aufgaben elegant einsetzen.

So ergeben beispielsweise 1500,00 € nach zweijähriger Laufzeit bei 4,5% Zinsen mit Zinseszins das Endkapital von 1500 €*(1,045)^2=1638,04 €. (Aufgrund der "Vorfahrtsregeln" darf die Klammer in der Rechnung natürlich auch weggelassen werden.)