Rückgekoppeltes System:
Spule mit Widerstand dringt in ein Magnetfeld ein.

Aufgabe:

Eine flache, quadratische Spule mit 100 Windungen und Kantenlänge d = 5,0 cm befindet sich gerade an der Grenze eines scharf begrenzten, homogenen Magnetfeldes mit B = 1,0 T. Sie hat die Masse 20 g und bewegt sich mit der konstanten Geschwindigkeit v = 20 cm/s in das Feld hinein (vgl. Skizze). An die Punkte E und F ist zunächst ein hochohmiges Spannungsmessinstrument angeschlossen. a) Gib die Polung an den Enden E und F an. Wie groß ist die auftretende Induktionsspannung? b) Nun wird statt des hochohmigen Spannungsmessgeräts ein Widerstand von 1,0 Ω an die Punkte E und F angeschlossen. Warum ändert sich dabei die Induktionsspannung? Wie ändert sie sich?

1) Einfache Lösung: Teilaufgabe a)

a) Die Richtung der Polung findet man mit der Drei-Finger-Regel der linken Hand. Punkt F ist negativ, Punkt E positiv gepolt.

Die auftretende Induktionsspannung ist U = n * d * v * B. Da das Feld homogen ist, sich die Spule mit konstanter Geschwindigkeit v bewegt und auch die Windungszahl n und die Spulenlänge d konstant sind, ist auch die erzeugte Induktionsspannung konstant und kann leicht berechnet werden. (Ergebnis: 1,0 V)

Alternativ könnte man diesen Aufgabenteil auch mit der Flussänderung ΔΦ lösen, die hier durch eine Flächenänderung erfolgt (Induktion 1. Art).
Es gilt ja: U = n * (ΔΦ / Δt) = n * B * (ΔA / Δt)
Da sich die Spule mit konstanter Geschwindigkeit bewegt, ist auch die Flächenänderung ΔA / Δt in jedem Zeitintervall gleich und damit die Induktionsspannung auch konstant.

2) Teilaufgabe b) ist ein "rückgekoppeltes System".

Wird statt des hochohmigen Spannungsmessinstruments nun ein niederohmiger Widerstand zwischen E und F gelegt, so ergibt sich eine völlig andere Situation:

• Die Spule wird zum stromdurchflossenen Leiter!
• Auf einen stromdurchflossenen Leiter wirkt aber im Magnetfeld eine Kraft (vgl. Herleitung der magnetischen Flussdichte B).
• Diese Kraft wirkt der Bewegung der Spule entgegen, bremst sie ab.
• Die Geschwindigkeit v wird also kleiner, damit sinkt auch die erhaltene Induktionsspannung U_ind.
• Wegen U_ind = R * I ändert sich dadurch die Stromstärke und damit auch wieder die bremsende Kraft.

Wir haben ein "rückgekoppeltes System", das wir nicht ganz so einfach geschlossen lösen können!
Dafür ist die Aufgabe aber eine schöne Anwendungsmöglichkeit für eine Modellbildung mit einer Simulationsrechnung z.B. mit EXCEL oder einem Modellbildungssystem.
Ähnliche Anwendungen (mit ähnlichen Lösungen) wäre z.B. die Kondensatorladung bzw. die Kondensatorentladung über einen Widerstand.

3) Die Modellbildung: Das "Know-how" für die Modellbildung in Gleichungen.

Für das erste Intervall ist die Geschwindigkeit die Anfangsgeschwindigkeit aus der Aufgabe also 20 cm/s. Am Ende des Intervalls hat diese Geschwindigkeit abgenommen. Diese neue, kleinere Geschwindigkeit v_neu führt zu einer geänderten, kleineren Induktionsspannung, mit der man den nächsten Wertesatz berechnen kann. Die Rechnung wird also in einer Art "Schleife" in immer gleicher Weise durchlaufen - dies ist eine "Iterationsrechnung".

Didaktische Hinweise für den Fachlehrer.

Je nach Intention und Ausführlichkeit der Besprechung bieten sich für den Fachlehrer hier unterschiedlich ausführliche Zugänge an:

• Man bespricht die Situation und die Rechengleichungen mit den Schülern und rechnet zwei oder drei Wertesätze mit dem Taschenrechner aus.
  (Dies ist meiner Meinung nach unverzichtbar, denn nur so wird den Schülern klar, was hier eigentlich gemacht wird).
  
  
• Optional:
  Die Schüler erkennen, dass es sich um eine Iterationsrechnung handelt und erstellen selbst ein Rechenblatt mit EXCEL (oder vergleichbaren Tabellenkalkulationsprogrammen) oder mit einem Modellbeindungssystem. Dazu werden sie im Allgemeinen Hilfestellung brauchen, insbesondere wie man einer Zelle "beibringt", dass sie etwas rechnen muss und wie das geht.
  
  
• Man kann diesen Schritt auch überspringen und die fertige EXCEL Simulation benutzen, die man weiter unten herunterladen kann. Dann erkennt man, dass die ersten Werte denen entsprechen, die man von Hand schon ausgerechnet hat (vertrauensbildende Maßnahmen). Die dort vorgegebenen Werte passen zur Aufgaben von oben.
  
  
• Nun kann (und soll) man mit der Modellbildung auch "spielen", d.h. untersuchen welchen Einfluss z.B. eine geänderte Anfangsgeschwindigkeit oder ein geänderter Außenwiderstand, die Windungszahl oder die Grundlänge auf den Verlauf der Geschwindigkeit bzw. der Induktionsspannung hat.
  
  Diese Änderungen / Ergebnisse sollte man aber jeweils physikalisch interpretieren!

Je nach Wahl des Wertes für Δt bekommt man möglicherweise Probleme. Wählt man Δt zu klein, dann tut sich während eines Intervalls nicht viel, wählt man es zu groß, dann "oszillieren" die Werte, d.h. sie pendeln zwischen positiven und negativen Werten hin und her.
Wer schon einmal mit einer solchen Iterationsrechnung gearbeitet hat, wird dieses Problem kennen.

Natürlich kann man eine solche Modellbildung auch mit MAPLE machen oder als Rechnung programmieren. Dann sollte man allerdings eine Abbruchbedingung für die Schleife nicht vergessen, sie sollte verlassen werden, wenn U_ind einen bestimmten Wert unterschreitet!

EXCEL-Rechenblatt herunterladen: Spule waagrecht ins B-Feld

4) Eine ähnliche Aufgabe für einen Transfer (in Anlehnung an Abitur 2010, IV a).

Aufgabe:

Eine flache, quadratische Spule mit 100 Windungen hat eine Seitenlänge von 5,0 cm. Sie hat eine Masse von 20 g und befindet sich genau an der Grenze eines scharf begrenzten, nach unten unendlichen, homogenen Magnetfeldes der Flussdichte B = 1,0 T. Sie wird dort aus der Ruhe heraus frei in das Magnetfeld fallen gelassen. Der Luftwiderstand wird vernachlässigt. Zwischen den Enden E und F befindet sich ein Widerstand von 1,0 Ω (vgl. Skizze rechts). Wie verändern sich Fallgeschwindigkeit und Induktionsspannung im Laufe der Zeit? Die Aufgabenstellung wird sozusagen um 90° gedreht, eine Spule mit Außenwiderstand fällt frei ein homogenes Magnetfeld. Dies ist eine Komplizierung gegenüber der Aufgabe von oben, da die Spule ohne Außenwiderstand einen freien, ungebremsten Fall machen würde, anstatt sich wie in o.g. Aufgabe gleichförmig zu bewegen. Mit anderen Worten: auch schon ohne den (niedrigen) Außenwiderstand ist die Induktionsspannung nicht konstant. Gegenüber der Abiaufgabe von 2014 wird hier aber die Spulengrenze an die Grenze des Feldes verlegt, was die Sache ein klein wenig vereinfacht.

Ein EXCEL-Rechenblatt zu dieser Aufgabenstellung kann man hierherunterladen: Spule freier Fall ins B-Feld

Hier sollte man in einem zweiten Schritt unbedingt eine Anfangsgeschwindigkeit in die Simulation eingeben und die geänderten Werte von den Schülerinnen und Schülern interpretieren lassen. Man kann sie auch dazu bringen analoge Bewegungen in der Mechanik zu suchen.

5) Darf es etwas mehr Mathematik sein?

Die Iterationsrechnungen sind eine schöne Sache: man kann mit ihnen solche rückgekoppelten Systeme lösen für die man nicht einfach eine geschlossene Lösung angeben kann.
Eigentlich liegt dieses Problem aber am mangelnden mathematischen Know-how der Schülerinnen und Schüler zu dem Zeitpunkt, zu dem man solche Aufgaben bespricht: Sie kennen dann meist die Exponentialfunktion (e-Funktion) und die Differentialgleichungen noch nicht.

Man kann das Problem aus 3 (Spule wird waagrecht ins B-Feld gezogen) auch als Differentialgleichung formulieren.
Dabei geht man am besten vom Induktionsstrom I(t) aus (Mitte der Gleichung), denn er ergibt sich einerseits aus der Induktionsspannung (Gleichungen nach links - rot), andererseits ist er für die bremsende Kraft verantwortlich, welche die Geschwindigkeit ändert (Gleichungen nach rechts - blau). Weil die Kraft bremsende Wirkung hat, muss noch ein negatives Vorzeichen hineingenommen werden. Dahinter steckt letztlich die Lenzsche Regel - der "Energieerhaltungssatz der Induktion".

Es ergibt sich also eine Differentialgleichung (DGL) 1.Ordnung (auf der linken Seite des Gleichheitszeichens steht ein Vorfaktor und die Funktion v(t); auf der rechten Seite die erste Ableitung der Funktion, also die Geschwindigkeitsänderung oder Beschleunigung, die hier negativ ist). Die Lösung dieser DGL ist also eine Funktion, die sich beim Ableiten praktisch bis auf den Vorfaktor reproduziert, eben die Exponentialfunktion. Da Geschwindigkeit und Induktionsspannung abnehmen, kommt nur ein negativer Exponent in Frage, dann ist der Lösungsansatz nicht mehr schwierig. Sicher kommen Schüler leicht auf die richtige Idee: Vergleicht man die Kurven aus der Iterationsrechnung mit EXCEL mit denen einer Lösung der e-Funktion z.B. aus Matheass (vgl. Abb. rechts), sieht man in beiden Fällen schön den exponetiellen Abfall.

Wenn Schülerinnen und Schüler dies verstanden haben und noch nach einer mathematischen Herausforderung suchen, dann können sie ja eine Lösung für die abgewandelte Abitursaufgabe zu suchen.
Als Denkhilfe kann man ja mit ihnen entwickeln, dass die Spannung zunächst 0 ist und dann anwächst. Sie muss gegen einen Grenzwert gehen, der sich einstellt, wenn die Spule schließlich mit konstanter Geschwindigkeit fällt.

Die Lösung ist vergleichbar den genauen Lösungen bei der Selbstinduktion, denn dort verändern sich ja auch die Induktionsspannung und der Induktionsstrom zeitlich:

Exakte Gleichung für die Selbstinduktion beim Einschalten
bzw.
Exakte Gleichung für die Selbstinduktion beim Ausschalten

Klaus-Dieter Grüninger, Landesbildungsserver, 2015