Lineare Gleichungen - Lösungsschritte und Tipps zur Lösung

Lineare Gleichung mit einer Variablen.

In den meisten Fällen heißt die Lösungsvariable x. Natürlich gelten die folgenden Regeln auch, wenn x durch einen anderen Buchstaben ersetzt wird.
Lineare Gleichungen sind für alle Zahlen aus der Definitionsmenge definiert.

Beachte auch den Tipp zum Schritt 4 bezüglich der grafischen Lösung einer Gleichung.

Lösungsschritte:

1. Vereinfache die Ausdrücke auf beiden Seiten der Gleichung. Beachte die Vorfahrtsregeln!
2. Forme die Gleichung so um, dass auf der einen Seite alle Ausdrücke mit x stehen und auf der anderen Seite alle Ausddrücke ohne x.
3. Klammere x gegebenenfalls aus und multipliziere beiden Seiten mit dem Kehrwert der Klammer.
4. Wenn Du Lust und Zeit hast, mache die Probe. Setze dazu Deine Lösung für x ein und überprüfe, ob sich auf beiden Seiten die gleiche Zahl ergibt.

Tipps, um Fehler zu minimieren:

Zu Schritt 1:

• Falls in der Gleichung Klammern auftreten, entferne diese. Passe auf bei Minusklammern! Wenn du Minusklammern grundsätzlich farbig markierst, schärfst du deinen Blick hierfür.
  (Plusklammern und Klammern um Produkte darfst du weg lassen).
• Markiere vor dem Zusammenfassen die gleichartigen Elemente farbig
  (Unter gleichartigen Elementen versteht man solche, die sich nur durch einen Zahlfaktor unterscheiden. Bei linearen Gleichungen mit einer Variablen benötigst Du somit nur zwei Farben, denn es gibt nur zwei Gruppen von gleichartigen Elementen - die mit x und die ohne x).

Zu Schritt 2:

• Überlege dir nach dem Zusammenfassen, auf welcher Seite vor dem x der größere Zahlfaktor steht. Forme die Gleichung anschließend so um, dass alle Ausdrücke mit x auf dieser Seite stehen. Somit vermeidest Du beim letzten Schritt eine Fehlerquelle, nämlich die Multiplikation mit einer negativen Zahl.

Zu Schritt 3:

• Natürlich darfst Du beim letzten Schritt auch durch den Ausdruck in der Klammer dividieren. Die Multiplikation mit dem Kehrwert dieser Zahl hat jedoch den Vorteil, dass man sofort erkennen kann, ob man eventuell kürzen kann. Darüber hinaus unterlaufen bei der Multiplikation weniger Fehler als bei der Division.
• Achtung: Es kann vorkommen, dass die Gleichung keine Lösung besitzt. Dann kommt am Ende etwas Unsinniges heraus (z. B. 0=7).
  Manchmal gibt es auch unendlich viele Lösungen. In diesem Fall lässt sich die Gleichung so umformen, dass schließlich 0=0 heraus kommt. In diesem Fall ist die Lösungsmenge gleich der Grundmenge (in der Regel den rationalen Zahlen Q - oder falls bereits bekannt den reellen Zahlen R).

Zu Schritt 4 (grafische Lösung einer Gleichung):

• Veranschauliche beiden Seiten der ursprünglichen Gleichung jeweils durch ein Schaubild. Die Schaubilder müssen sich bei dem x-Wert schneiden, den du bei deinen Umformungen berechnet hast. Der y-Wert des Schnittpunktes sollte der Zahlenwert sein, der sich bei der Probe ergibt. Manchmal ist dieses grafische Lösungsverfahren sehr viel schneller - besonders wenn dir ein grafikfähiger Taschenrechner zur Verfügung steht.
  Auf diese Art kannst du übrigens jede beliebige Gleichung lösen. (Du musst nur das Fenster finden, in dem sich die Schaubilder schneiden.)
• Bei unsinnigen Lösungen darf es zwischen den Schaubildern keine Schnittpunkte geben (z. B. zwei ungleiche aber parallele Geraden). Bei unendlich vielen Lösungen stimmen die beiden Schaubilder überein.