Waagemodell und Gleichungen

Der Zusammenhang zwischen Manipulationen an einer Balkenwaage und Umformungen von Gleichungen

Will man das unbekannte Gewicht x eines Pakets bestimmen, legt man solange bekannte Gewichte auf die andere Waagschale, bis die Waage im Gleichgewicht ist.



In disem Fall beginnen wir mit der Lösung der Gleichung: Das Paket wiegt 3 kg. Die mathematische Schreibweise dafür ist x = 3.
Bei einer Balkenwaage spielt es keine Rolle, ob das Paket auf der linken oder rechten Seite liegt, daher darf man auch bei Gleichungen die beiden Seiten tauschen x = 3 oder 3 = x.

Die folgenden Skizzen zeigen, ausgehend von der Lösung, Handlungen (Manipulationen), die die Balkenwaage nicht aus dem Gleichgewicht bringen.
Daneben stehen immer auch die mathematischen Schreibweisen dieser Umformungen.
Wie bei den Handlungen an der Waage ändern sich bei diesen Umformungen die beiden Seiten, jedoch bleibt die Waage immer im Gleichgewicht und die beiden Terme rechts und links des Gleichheitszeichens bleiben gleichwertig (äquivalent).

Waagemodell: Ausgangssituation

Mathematische Schreibweise: Ausgangssituation 3 = x

Handlungen (Operationen), die das Gleichgewicht erhalten.

Waagemodell: Nach der 1. Änderung a) Auf beiden Seiten der Waage gleich viel Gewicht hinzufügen

Mathematische Schreibweise: 1. Umformung a) Auf beiden Seiten der Gleichung die gleiche Zahl addieren Die Waage zeigt die Situation nach der 1. Umformung

Waagemodell : 2. Änderung b) Auf beiden Seiten der Waage gleich viel Gewicht entfernen

Mathematische Schreibweise: 2. Umformung b) Auf beiden Seiten der Gleichung die gleiche Zahl subtrahieren Die Waage zeigt die Situation nach der 2. Umformung

Waagemodell: 3. Änderung c) Auf beiden Seiten der Waage das Gewicht vervielfachen

Mathematische Schreibweise: 3. Umformung c) Auf beiden Seiten der Gleichung mit der gleichen Zahl multiplizieren Die Waage zeigt die Situation nach der 3. Umformung

Waagemodell: 4. Änderung d) Auf beiden Seiten der Waage das Gewicht in gleich viele Teile teilen

Mathematische Schreibweise: 4. Umformung d) Auf beiden Seiten der Gleichung durch die gleichen Zahl dividieren Die Waage zeigt die Situation nach der 4. Umformung

Umformungen, die das Gleichgewicht beibehalten nennt man Äquivalenzumformungen.
Alle Gleichungen, die durch Äquivalenzumformungen verändert werden haben die gleiche Lösung.
So kann man eine Ausgangsgleichung solange umformen, bis man die Lösung unmittelbar ablesen kann.
Die linke und die rechte Seite einer Gleichung bleiben gleichwertig (äquivalent), wenn man auf beiden Seiten der Gleichung:

• dieselbe Zahl oder Variable addiert,
• dieselbe Zahl oder Variable subtrahiert,
• mit derselben Zahl (außer Null) multipliziert,
• durch dieselbe Zahl (außer Null) dividiert.

Beispiel für Äquivalenzumformungen:


Diese Präsentation zeigt, wie Gleichungen mithilfe des Waagemodells entstehen und wie man sie lösen kann.